Definisi Aljabar Boolean
Aljabar Boolean dapat didefinisikan secara abstrak dalam beberapa
cara. Cara yang paling umum adalah dengan menspesifikasikan unsur – unsur
pembentuknya dan operasi – operasi yang menyertainya.
(Definisi 2.1 – Menurut Lipschutz, Seymour & Marc Lars Lipson
dalambukunya ‘2000 Solved Problems in Discrete Mathematics’, McGraw-Hill,
1992).
Misalkan B adalah himpunan yang didefinisikan pada dua operator biner, + dan ., dan sebuah operator uner,’. Misalkan 0 dan 1 adalah dua elemen yang berbeda dari B.Maka, tupel <B, +, ., ‘, 0, 1> disebut aljabar Boolean jika untuk setiap a, b, c 0 B berlaku aksioma (sering dinamakan juga Postulat Huntington) berikut :
Misalkan B adalah himpunan yang didefinisikan pada dua operator biner, + dan ., dan sebuah operator uner,’. Misalkan 0 dan 1 adalah dua elemen yang berbeda dari B.Maka, tupel <B, +, ., ‘, 0, 1> disebut aljabar Boolean jika untuk setiap a, b, c 0 B berlaku aksioma (sering dinamakan juga Postulat Huntington) berikut :
1. Identitas
(i) a + 0 = a
(ii) a . 1 = a
2. Komutatif
(i) a + b = b + a
(ii) a . b = b . a
3. Distributif
(i) a . (b + c) = (a . b) + (a . c)
(ii) a + (b . c) = (a + b) . (a + c)
4. Komplemen
Untuk setiap a 0 B terdapat elemen unik a’ 0 B sehingga
(i) a + a’ = 1
(ii) a . a’ = 0
Elemen 0 dan 1 adalah dua elemen unik yang berada di dalam B. 0
disebutelemen terkecil dan 1 disebut elemen terbesar. Kedua elemen unik dapat
berbeda –beda pada beberapa aljabar Boolean (misalnya i dan U pada
himpunan, False danTrue pada proposisi), namun secara umum kita
tetap menggunakan 0 dan 1 sebagaidua elemen unik yang berbeda. Elemen 0 disebut
elemen zero, sedangkan elemen 1disebut elemen unit. Operator +
disebut operator penjumlahan, . disebut operator perkalian, dan ‘ disebut
operator komplemen.
Terdapat perbedaan antara aljabar Boolean dengan aljabar biasa
untukaritmetika bilangan riil :
1. Hukum distributif yang pertama, a . (b + c) = (a . b)
+ (a . c) sudah dikenal didalam aljabar biasa, tetapi hukum
distributif yang kedua, a + (b . c) = (a + b) .(a + c),
benar untuk aljabar Boolean, tetapi tidak benar untuk aljabar biasa.
2. Aljabar Boolean tidak memiliki kebalikan perkalian (multiplicative
inverse)dan kebalikan penjumlahan; karena itu, tidak ada operasi pembagian
danpengurangan di dalam aljabar Boolean.
3. Aksioma nomor 4 pada definisi 2.1 mendefinisikan operator yang
dinamakan komplemen yang tidak tersedia pada aljabar biasa.
4. Aljabar biasa memperlakukan himpunan bilangan riil dengan elemen
yangtidak berhingga banyaknya. Sedangkan aljabar Boolean memperlakukanhimpunan
elemen B yang sampai sekarang belum didefinisikan, tetapi pada
aljabar Boolean dua-nilai, B didefinisikan sebagai himpunan dengan
hanya dua nilai, 0 dan 1.
Hal lain yang penting adalah membedakan elemen himpunan dan peubah (variable)
pada sistem aljabar. Sebagai contoh, pada aljabar biasa, elemen himpunan
bilangan riil adalah angka, sedangkan peubahnya seperti a, b, cdan
sebagainya. Dengan cara yang sama pada aljabar Boolean, orang mendefinisikan
elemen – elemen himpunan dan peubah seperti x, y, zsebagai
simbol – simbol yang merepresentasikan elemen.
Berhubung elemen – elemen B tidak didefinisikan nilainya
(kita bebas menentukan anggota – anggota B), maka untuk mempunyai sebuah
aljabar Boolean, orang harus memperlihatkan
:
1. elemen – elemen himpuan B,
2. kaidah / aturan operasi untuk dua operator biner dan operator uner,
3. himpunan B, bersama – sama dengan dua operator tersebut,
memenuhi keempat aksioma di atas.
Jika ketiga persyaratan di atas dipenuhi, maka aljabar yang
didefinisikan dapat dikatakan sebagai aljabar Boolean.